三位北大校友突破65年数学难题！证明126维空间“末日假说”，为母校126周年献贺

65 年数学难题新突破！

来自复旦大学的林伟南、王国祯以及 UCLA 的徐宙利合作，解决了 126 维空间的 Kervaire 不变量问题。

三位作者都是北大数院出身，该成果曾作为北大建校 126 周年贺礼做报告，现在完整论文终于上传 arXiv。

△图源：北京大学数学科学学院

他们这次解决的是高维拓扑学中的核心难题之一，也被称为 " 末日假说 "：如果该假说被证伪，许多基于它建立的所有其他猜想都将被推翻！

Kervaire 不变量用于判断流形能否通过特定方法转化为球体。当一个流形可以精确地转化为球体时，该不变量等于零；无法转化为球体时，该不变量等于 1。

到了 1960 年，数学家们已经证明 Kervaire 不变量为 1 的流形存在于维度 2、6、14、30 中。

前面的问题背景介绍都看不懂也没关系，观察这四个数字很容易得出他们似乎满足 2^n-2 的规律。

数学家们很自然的假设这种流形还会存在于 62、126、254 等维度，但证明止步于 62 维，后面停滞了几十年未取得进展。

直到 2009 年，终于有人证明了大于等于 254 维时这样的流形不存在，至此，126 维成为了全部问题的最后一块拼图。

林伟南、王国祯、徐宙利三人这次证明 126 维的方法结合了计算机计算和理论见解，被学术界评价为 " 堪称一项宏伟的工程 "。

从 105 种可能性到唯一解

几十年来，数学家们都在好奇一个问题：

哪些维度存在一些奇怪的形状，其扭曲到即使利用特殊手段也无法转化为球体。

通俗理解，每增加一个维度就意味着创造了一个新的移动方向，而不同维度都有各自的特性。

比如在第 8 维和第 24 维（下图），数学家已经证明这两个维度可以让球体排列得特别紧密。而在其他维度中，球体的排列可能就没那么完美，甚至看起来有些 " 皱巴巴 " 的，就像一个被揉皱的纸团一样。

通过找出这些具有扭曲形状的维度，数学家们可以更好地理解不同维度空间的性质和规律。

而在林伟南等人的研究之前，数学家已经发现这些扭曲形状存在于第 2、6、14、30 和 62 维空间中，并且排除了除第 126 维之外的其他情况。

也就是说，唯一不确定的第 126 维，现在已经被他们最终解决了。

不过要想弄清楚他们是如何解决这个问题的，我们还得回顾一下前人取得的一些进展。

相关研究最早可以追溯到 20 世纪 50 年代，数学家 John Milnor 引入了目前流形研究中的一种通用方法——surgery（手术）。

其中，流形在数学中指一个复杂的形状，比如一个弯曲的表面或更高维度的空间。

而 surgery 就像是对这个形状进行 " 整形 "。需要先切掉一部分，然后沿着切口的边缘把新的部分缝上去。这个过程必须非常小心，不能留下任何尖锐的角或边缘，因为数学家希望新的形状是平滑的，就像一个完美的球面一样。

甚至当涉及到扭曲形状时，surgery 还必须符合流形的 " 框架 "，即流形在空间中的摆放位置。

比如在下面这个例子中，将一个 " 甜甜圈 "（环面）变成球体，需要经历切割——形状变化——缝合——拓扑等价这几个过程。

最终结果是，虽然形状发生了改变，但在拓扑学上却是等价的（基本结构和性质相同）。

利用 surgery 这一方法，数学家们得出以下发现：

二维平面不存在奇异球体；

在某些更高维度中，surgery 可以使一些流形变成普通球体，同时使另一些变成奇异球体；

还有一种特殊情况，某些流形无法通过 surgery 变成球体。

这里所谓的奇异球体，是指在某个维度中与普通球体（标准球体）具有相同拓扑性质，但在微分结构上有所不同的球体。微分结构涉及到空间的局部平滑性，比如一个在普通球面上光滑的曲线可能在奇异球面上不光滑。

BTW，当初 John Milnor 就因在七维空间中发现奇异球体而震惊数学界，并且之所以引入 surgery，也是想探索不同维度中的奇异球体。

基于上述发现，后来的研究聚焦在了第三种特殊情况上——某些流形无法通过 surgery 变成球体。

就像下面这个经过特殊扭曲的二维形状：

而为了进一步判断一个流形是否可以通过拓扑 surgery 变成一个球体，法国数学家 Michel Kervaire 于 1960 年正式提出了Kervaire 不变量。

可以转化为球体，Kervaire 不变量为 0；无法转化为球体，Kervaire 不变量为 1。

有了这个计算数值，数学家们争相确定不同维度流形的 Kervaire 不变量。

并且几年之内，他们就证明了在第 2、6、14 和 30 维空间中存在 Kervaire 不变量为 1 的扭曲流形。

显然，这几个维度存在一个明显规律：每个数都比 2 的幂小 2。

后来在 1969 年，数学家 William Browder 证明了这一规律是唯一可能存在 Kervaire 不变量为 1 的地方。

沿着这一规律，人们自然假设其他维度还包括 62、126、254 等等，同时还有人基于这一假设提出了大量相关猜想。

不过由于假设并未得到完全证明，导致后来的猜想始终 " 摇摇欲坠 "，所以这一假设也被称为" 末日假说 "。

再到后来，两项关键证明出现了：

一个是在 1984 年，数学家们证明了 62 维确实存在扭曲流形；另一个是在 2009 年，Hopkins 等人证明了满足 Kervaire 不变量为 1 的流形不可能存在于 254 维及以上的空间。

排除之后，唯一剩下的只有第 126 维空间了。

还是上面提到的 William Browder，他在 1969 年发现了一个解决第 126 维问题的关键线索：

在亚当斯谱序列第 126 列中的一个特定点，对于理解该问题至关重要。

具体而言，这个点可以告诉我们 126 维流形是否可以被分类为具有 Kervaire 不变量为 0 或 1 的流形。

这里要分为两种情况：

其一，如果这个点在亚当斯谱序列的 " 无限 " 页（也就是最终页）上存活下来，那么这意味着在 126 维空间中存在两种类型的流形，即 Kervaire 不变量为 0 或 Kervaire 不变量为 1。

其二，如果这个点在 " 无限 " 页上没有存活下来，那么在 126 维空间中就只存在一种类型的流形，即 Kervaire 不变量为 0 的流形。

概括而言，对于第 126 列中的特殊点，有105 种不同的假设方式可能导致它在到达 " 无限 " 页之前消失。

为了排除这些可能性，林伟南等人进行了合作。其中由林伟南开发的计算机程序，首先排除了 101 种可能性。

后来又花了 1 年时间，继续排除了最后 4 种可能。

最终他们证明了，William Browder 提出的特殊点确实存活到了 " 无限 " 页，即第 126 维具有 Kervaire 不变量为 1 的流形。

研究团队

三位作者中，王国祯和徐宙利在北大数院本科和硕士期间（2004-2011）一直是同学，硕士阶段还是舍友。

从北大数院毕业后，王国祯到 MIT 读博，2016 年来到复旦大学上海数学中心从博士后一路做到副教授。

△王国祯

徐宙利则去了芝加哥大学读博，毕业后先后在 MIT、UCSD 和 UCLA 任教，现为 UCLA 数学系教授。

△徐宙利

两人一直保持合作关系，截止目前已在数学四大刊上联手发表了 3 篇论文。

林伟南比他们年龄小一些，2011 年来到北大数院读本科，后到芝加哥大学读博，徐宙利与林伟南在芝加哥大学都接受 Peter May 的指导。

△林伟南

2011 年，当徐宙利来到芝加哥大学时就致力于研究流形的计算问题，导师 Peter May 提议他研究 126 维 Kervaire 不变量问题，还把他介绍给这方面的专家西北大学教授 Mark Mahowald。

Mark Mahowald 听说后立即否决了这项提议，他认为 126 维问题 " 将是一个终生难题 "，并指导徐宙利去研究更低维度的相关问题。

仅两年后，Mark Mahowald 于 2013 年不幸去世，徐宙利等人却没有停下研究 126 维 Kervaire 不变量问题的脚步。

十多年后，当这个这个问题被解决，三位作者特别将这篇具有里程碑意义的论文献给了 Mahowald，表达对这位代数拓扑学大师的敬意。

论文地址：

https://arxiv.org/abs/2412.10879

参考链接：

[ 1 ] https://www.quantamagazine.org/dimension-126-contains-strangely-twisted-shapes-mathematicians-prove-20250505/

[ 2 ] https://news.ycombinator.com/item?id=43896199

[ 3 ]

[ 4 ] https://pouiyter.github.io

[ 5 ] https://waynelin92.github.io

[ 6 ] https://sites.google.com/view/xuzhouli

[ 7 ] https://www.ams.org/publications/journals/notices/201606/rnoti-p652.pdf

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